La sospensione dell'autoveicolo - approfondimenti

[DriftSK]

perche' "free"?

Nomenclatura il diagramma di corpo libero ("free body diagram") mostra tutte le forze che agiscono su un oggetto. Superfici di contatto e vincoli sono, per convenzione, omessi.

ps. Sulla descrizione dell'ultimo schema concordo con Bigno.

 

[alfistavero]

'giorno

andiamo avanti

chiaro che il disegno che mostrava la massa sospesa (scocca) e quella non sospesa (ruota) collegate SOLO con la molla, adesso diventa come indicato qui sotto.
questo disegno "descrive" perfettamente la ruota (che ha un comportamento elastico e anche smorzante) e la presenza della sospensione dotata di molla e ammortizzatore.

 

[alfistavero]

se poi proprio vogliamo esagerare, e descrivere perfettamente cosa arriva al "culo" del conducente e dei passeggeri dalla strada, dobbiamo aggiungere anche lo schemino che rappresenta il sedile, pure lui dotato di effetto elastico e smorzante.
ecco qui lo schema completo
come vedete, i gradi di libertà diventano 3 (caso b del disegno)
se consideriamo 1 solo passeggero su un'auto (che, come noto, dovrebbe essere dotata di 4 ruote e quindi 4 sospensioni), allora devo risolvere 9 equazioni (di secondo grado).
se devo descrivere il comprtamento di 4 passeggeri, allora le equazioni diventano 12 perchè diventano 12 i g.d.l.

direi che le cose incominciano a complicarsi un po'...

.......e noi, per semplificare le cose (anche perchè NON dobbiamo fare nessu calcolo particolare, ma solo capire le cose), rtorniamo al nostro disegnino, semplice semplice, raffigurato nel caso c, quindi con 1 SOLO grado di libertà

 

[bigno72]

Tutto OK, fin qui e' facile. :OK)

 

[DriftSK]

Per ora nessun problema :OK)

 

[Diabolik]

se poi proprio vogliamo esagerare

non dovremmo mettere allora anche i tamponi?

 

[alfistavero]

se poi proprio vogliamo esagerare

non dovremmo mettere allora anche i tamponi?

quando vai in giro normalmente, e anche quando vai forte; e pure quando vai fortissimo, in pista; se la tua macchina è fatta bene (cioè, non è una ciofeca), vai per caso sui tamponi?

andare sul tampone è una condizione estrema, indesiderata e assolutamenete da evitare....se la macchina è una macchina seria... :asd)

e muto lì, non andare avanti.....

 

[Diabolik]

muto io sono :ignore) (con accento siciliano :asd) )

 

[alfistavero]

bene.
allora, per far andare meglio la macchina mettiamo gli ammo.
l'ammortizzatore è un elemento il cui scopo è dissipare l'energia elastica della molla, smorzando l'oscillazione.
l'ammo genera una forza che si OPPONE al moto della massa (al moto relativo del sistema molla-massa); la forza che genera è PROPORZIONALE alla velocità con cui si muove la sospensione. più la sospensione si muove velocemente, maggiore (fino a un certo punto) è la forza che genera.
questo signifca che, se la sospensione non si muove, l'ammo NON lavora. se non c'è movimento, non c'è forza.

se la sospensione non si muove, la molle genera comunque una forza, perchè la forza elastica è funzione solo della posizione, della deformazione, della molla.
invece, se la sospensione non si muove, l'ammortizzatore NON genera alcuna forza, perchè la forza dissipatrice generata dall'ammo è funzione solo del movimento, della velocità.

tale forza, dunque, si può esprimere come F = C v dove v è la velocità con cui si muove la sospensione.
se quindi facciamo riferimento al nostro disegno, la mia v è la derivata rispetto al tempo di x, grado di libertà del mio sistema molla-massa (e ora ammortizzatore). quindi: F = C x' dove con x' ho indicato la derivata di x rispetto a t (dx/dt), cioè v, velocità.

anzi, per la precisione, dovrei scrivere F = -C x', col meno davanti, perchè è una forza che SI OPPONE al moto della sospensione.

il coefficiente C prende il nome di coefficiente di smorzamento dell'ammo.

quindi,

avrò che la mia massa (la scocca) in movimento sarà sottoposta, adesso, a 2 forze: quella elastica (già vista) e quella smorzante (dell'ammo)

quindi, F = - K x + (- C x') cioè F = - K x - C x'

ora, in base alla seconda legge di Newton

m x" = F = - K x - C x'

ossia

m x" + C x' + K x = 0

anche questa è un'equazione differenziale di second'ordine. con tutti i coefficienti, tra l'altro. e costanti.

adesso, se divido tutto per m avrò

x" + (C/m) x' + (K/m) x = 0

guarda guarda, ho ancora la mia K/m che è la mia pulsazione al quadrato e poi un termine C/m

domani vediamo cosa significa ciò.

 

[alfistavero]

Bene, visto che nessuno si è ancora degnato di fare un cenno di assenso, segno di perfetta comprensione della materia fin qui enunciata, faccio un passo avanti.

Allora, la mia equazione differenziale è

x” + C/m x’ + K/m x = 0

K/m dovrese conoscerlo bene: altro non è se non il quadrato di ω, che poi è la pulsazione (la frequenza propria) del mio sistema molla-massa

Vediamo come si risolve.

Posso scrivere la mia eq. Differenziale così:

D2 + C/m D + K/m = 0 (con D2 indico D al quadrato)

Questa diventa una equazione normalissima del second’ordine

La soluzione, come noto, è (devo mettere un disegno perché sennò faccio fatica a scrivere la formula: ecco qui sotto il disegno)

 

[alfistavero]

Attenti bene:

α, cioè C2/4m2 che sta sotto radice, prende il nome di fattore di smorzamento
ωn che sta sotto la radice è, come noto, la pulsazione (frequeza propria del mio sistema NON smorzato, cioè molla-massa e basta. l’ho appena scritto).


Adesso, il problema E’ determinare il valore di quello che sta sotto la radice quadrata.
Infatti, a seconda che il valore che sta sotto la radice quadrata sia

= 0 oppure
>0 oppure ancora
<0
Avrò risultati diversi:

nel primo caso (il valore della roba che sta sotto la radice quadrata è uguale a 0), avrò 2 (DUE) radici coincidenti

nel secondo caso, avrò due radici (cioè due soluzioni) reali

nel terzo caso, avrò due radici complesse.


Naturalmente, per ogni caso qui descritto, il significato fisico è BEN DIVERSO.

Partiamo dalla soluzione più semplice, cioè quella in cui tutto quello che sta sotto la radice quadrata è uguale a 0.

Questo significa che

C2/4m2 = K/m ossia

C = 2 * SQR(k m) ossia 2 moltiplicato per la radice quadrata di (k m)

Questo valore di C (smorzamento dell’ammortizzatore) prende il nome di

SMORZAMENTO CRITICO

e da adesso lo indicheremo con Cc. Quale sia il suo significato fisico, lo vedremo tra pochissimo. Diciamo subito che quando la frequanza propria, la pulsazione del mio sistema molla-massa-ammo, diventa uguale al fattore di smorzamento, significa che C assume il valore di smorzamento critico (Cc).

Adesso, vediamo il caso in cui il valore di quello che sta sotto la radice qudrata è <0.
Chiaro, in questo caso, che sarà

C < 2 * SQR(k m) ossia

che lo smorzamento del mio ammo sarà inferiore al valore di smorzamento critico Cc.

La soluzione dell’equazione differenziale diventa
La soluzione, cioè l’equazione del moto del mio sistema al di sotto dello smorzamento critico per il modello totale dell'ammortizzatore e della molla è la seguente (purtroppo, anche qui devo ricorrere ad un disegno, sennò non riesco a scrivere la formula).

 

[alfistavero]

Dove ho indicato con la lettera greca z (che non si vede) il valore


z(greca) = C / Cc cioè = C / 2 * SQR(k m) ma anche = α / ωn

z (greca) prende il nome di COEFFICIENTE DI SMORZAMENTO (o fattore di smorzamento)

Chiaramente, nel caso in cui quello che sta sotto la radice qudrata è <0, il valore di z(greca)
sarà compreso tra 0 e 1.

E dove ωd, ossia la FREQUENZA PROPRIA (pulsazione) del sistema smorzato (cioè con ammo), è messo in relazione con la frequenza propria (pulsazione) del sistema non smorzato (il mio sistema molla-massa, senza ammo) ωn (d sta per “damped” e n sta per “natural”) nel seguente modo (anche qui devo mettere una formula con un disegno perché non ce la faccio)

 

[alfistavero]

Anche in questo caso, Zo e φ dipendono dalle condizioni iniziali

Ultimo caso, quello in cui il valore di quello che sta sotto la radice quadrata è >0.
Quindi, ho due soluzioni reali.

In questo caso, avrò che

C > 2 * SQR(k m)

Ossia che lo smorzamento del mio ammo è superiore allo smorzamento critico

E la soluzione dell’equazione differenziale, cioè la mia equazione del moto, diventerà (metto disegno anche qui, come al solito)

 

[alfistavero]

Dove (altro disegno)

 

[alfistavero]

Anche in questo caso, Z1 e Z2 e φ dipendono dalle condizioni iniziali.


Riassumendo il tutto:

La soluzione dell’equazione differenziale dipende dallo smorzamento dell’ammortizzatore.

Se lo smorzamento è abbastanza piccolo, il sistema vibrerà, ma smetterà di vibrare col tempo. Questo caso (cioè se C < 2 * SQR(k m) ) è detto sistema “sottosmorzato” (questo caso è di particolare interesse nell'analisi delle vibrazioni).

Se aumentiamo lo smorzamento appena al punto in cui il sistema non oscilla più si raggiungerà il punto di smorzamento critico (C = 2 * SQR(k m) )

Se lo smorzamento del mio ammortizzatore è aumentato oltre lo smorzamento critico il sistema è denominato “sovrasmorzato”.


Abbiamo visto che vanno tenuto in considerazione 3 parametri fondamentali:

lo smorzamento dell’ammortizzatore C

il FATTORE DI SMORZAMENTO α (= C/2m)

il COEFFICIENTE DI SMORZAMENTO z(greca) (= C / 2 SQR(km))

attenti bene: spesso trovate che lo smorzamento dell’ammortizzatore C venga chiamato anche “coefficiente di smorzamento dell’ammo”: non confondetelo con l’altro coefficiente di smorzamento, cioè con lo 


Adesso ci fermiamo qui perché abbiamo messo un sacco di carne al fuoco. Oggi metto qualche disegno

 

[bigno72]

Azz, qui e' spessa... mi ci vuole un po'

 

[Diabolik]

suggerimento: lasciare perdere le equazioni differenziali e concentrarsi sulle soluzioni, ovvero sull'equazione del moto

1 sottosmorzato. la soluzione è il prodotto (moltiplicazione) di 2 pezzi: un esponenziale (e elevato a -t) e una seno (il pezzo sin(t)). Questo vuol dire che il mio sistema oscilla (me lo dice la parte col sin) e oscilla con la stessa frequenza del sistema libero (difatti omega è rimasta la stessa). MA! nel sistema libero ho solo la funzione sin, che come valori oscilla tra -1 e 1 fissi per sempre, mentre ora ho l'esponenziale, che avendo il segmo meno davanti al tempo, è un esponenziale che decresce e vale meno di 1, quindi prende l'ampiezza prodotta da sin e la moltiplica per un numero <1 che diventa sempre più piccolo (piuttosto velocemente), quindi appiattisce l'ampiezza dell'oscillazione descritta da sin
teoricamente, col modello così descritto, il sistema oscilla comunque per sempre, ma dopo un po' l'ampiezza dell'oscillazione diventa così piccola da essere "invisibile"; in realtà quando l'oscillazione diventa molto piccola, oltre allo smorzamento dell'ammortizzatore entrano in campo anche altre cose che fanno sì che ad un certo punto l'oscillazione smetta proprio del tutto invece di continuare in eterno con ampiezze microscopiche

 

[bigno72]

Si, quella e' l'unica parte su cui son gia' arrivato. E' che non mi ci posso dedicare adesso a capire tutto con calma.

Vedo gia' uno scoglietto su smorzamento, fattore di smorz. e coeff. di smorz..

 

[alfistavero]

suggerimento: lasciare perdere le equazioni differenziali e concentrarsi sulle soluzioni, ovvero sull'equazione del moto

1 sottosmorzato. la soluzione è il prodotto (moltiplicazione) di 2 pezzi: un esponenziale (e elevato a -t) e una seno (il pezzo sin(t)). Questo vuol dire che il mio sistema oscilla (me lo dice la parte col sin) e oscilla con la stessa frequenza del sistema libero (difatti omega è rimasta la stessa). MA! nel sistema libero ho solo la funzione sin, che come valori oscilla tra -1 e 1 fissi per sempre, mentre ora ho l'esponenziale, che avendo il segmo meno davanti al tempo, è un esponenziale che decresce e vale meno di 1, quindi prende l'ampiezza prodotta da sin e la moltiplica per un numero <1 che diventa sempre più piccolo (piuttosto velocemente), quindi appiattisce l'ampiezza dell'oscillazione descritta da sin
teoricamente, col modello così descritto, il sistema oscilla comunque per sempre, ma dopo un po' l'ampiezza dell'oscillazione diventa così piccola da essere "invisibile"; in realtà quando l'oscillazione diventa molto piccola, oltre allo smorzamento dell'ammortizzatore entrano in campo anche altre cose che fanno sì che ad un certo punto l'oscillazione smetta proprio del tutto invece di continuare in eterno con ampiezze microscopiche

minkia, che MAGONE che sei!!

più chiaro di così...

 

[alfistavero]

tanto per semplificarvi le cose, aggiungo che il comportamento dinamico della (quasi) totalità dei veicoli terrestri ha ammortizzatori i cui coefficienti danno luogo a un sistema SOTTOSMORZATO.
quindi, tenete in conto solo quello.

p.s. ho modificato la formula del sistema sovrasmorzato, per distiguervela dalle altre....

oggi andiamo avanti